Выбор читателей
Популярные статьи
Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.
В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.
Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами .
У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется (длиной).
Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.
Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:
У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.
Существуют несколько правил для расчета суммы
Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.
Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.
Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника .
Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец - с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове» .
Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).
Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.
Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.
Примеры :
Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника , «хвост к голове»
Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.
Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма .
Длина в этом случае вычисляется по формуле
Где θ – угол между сторонами.
Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.
Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:
Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.
Умножение на скаляр
Результатом умножения на скаляр будет вектор.
Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.
Скаляр - числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.
Примеры скалярных величин в физике:
Примеры :
Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.
Пример :
Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .
ов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Определение 1
Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).
Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$
Введем следующую теорему:
Теорема 1
От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.
В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.
Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой.
Обозначим точкой $A$ -- начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.
Определение 2
Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть
\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]
Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.
Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.
Пример 1
Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.
Решение.
Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 3).
Рисунок 3. Разность двух векторов
По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что
\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]
\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]
Из определения 2, получаем, что
\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]
Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.
Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.
Вспомним следующее необходимое нам понятие.
Определение 3
Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.
Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$.
Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.
Теорема 2
Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:
\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]
Доказательство.
По определению 2, имеем
Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим
Так как векторы $\overrightarrow{b}$ и $\left(-\overrightarrow{b}\right)$ противоположны, то $\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$. Имеем
Теорема доказана.
Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.
Пример 2
Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующие векторы:
а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$
б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$
Рисунок 4. Параллелограмм
Решение.
а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим
\[\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\]
Из первого правила разности двух векторов, получаем
\[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\]
б) Так как $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$, получим
\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}\]
По теореме 2, имеем
\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}+\left(-\overrightarrow{AO}\right)=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\]
Используя правило треугольника, окончательно имеем
\[\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{a}\]
Скаляры можно складывать, умножать и делить так же, как обычные числа.
Поскольку вектор характеризуется не только числовым значение, но и направлением, сложение векторов не подчиняется правилам сложения чисел. Например, пусть длины векторов a = 3 м, b = 4 м, тогда a + b = 3 м + 4 м = 7 м. Но длина вектора \(\vec c = \vec a + \vec b\) не будет равна 7 м (рис. 1).
Рис. 1.
Для того, чтобы построить вектор \(\vec c = \vec a + \vec b\) (рис. 2), применяются специальные правила сложения векторов.
Рис. 2.А длину вектора суммы \(\vec c = \vec a + \vec b\) определяют по теореме косинусов \(c = \sqrt{a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos \alpha}\), где \(\alpha\,\) – угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\).
В зарубежной литературе этот метод называют «хвост к голове».
Для того чтобы сложить два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 3, а) нужно переместить вектор \(\vec b\) параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора \(\vec a\) (рис. 3, б). Тогда их суммой будет вектор \(\vec c\), начало которого совпадает с началом вектора \(\vec a\), а конец - с концом вектора \(\vec b\) (рис. 3, в).
а б в Рис. 3.Результат не поменяется, если перемещать вместо вектора \(\vec b\) вектор \(\vec a\) (рис. 4), т.е. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) (свойство коммутативности векторов ).
а б в Рис. 4.При помощи правила треугольника можно сложить два параллельных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 6, а) и \(\vec a\) и \(\vec d\) (рис. 7, а). Суммы этих векторов \(\vec c = \vec a + \vec b\) и \(\vec f = \vec a + \vec d\) изображены на рис. 6, б и 7, б. Причем, модули векторов \(c = a + b\) и \(f=\left|a-d\right|\).
а б Рис. 6. а б Рис. 7.Правило треугольника можно применять при сложении трех и более векторов. Например, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (рис. 8).
Рис. 8.Для того чтобы сложить два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 9, а) нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) находились в одной точке (рис. 9, б). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис. 9, в). Тогда суммой \(\vec a+ \vec b\) будет вектор \(\vec c\), начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец - с противоположной вершиной параллелограмма (рис. 9, г).
а б в г Рис. 9.Для того чтобы найти разность двух векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 11) нужно найти вектор \(\vec c = \vec a + \left(-\vec b \right)\) (см.
Никто не будет спорить, что к месту назначения невозможно добраться не зная направления движения. В физике это понятие называется вектором . До этого момента мы с вами оперировали некоторыми числами и значениями, которые называются величинами. Вектор отличается от величины наличием направления.
При работе с вектором оперируют его направлением и величиной . Физический параметр без учета направления называют скаляром .
Визуально вектор отображают в виде стрелки. Длина стрелки - величина вектора.
В физике для обозначения векторов используют заглавную букву со стрелкой наверху.
Векторы можно сравнивать. Два вектора будут равны, если они имеют одинаковую величину и направление.
Вектора можно складывать. Результирующий вектор является суммой обоих векторов и определяет расстояние и направление. Например, вы проживаете в Киеве и решили проведать старых друзей в Москве, а оттуда сделать визит к любимой теще во Львов. Насколько далеко вы будете находиться от родного дома, гостюя у мамы жены?
Для ответа на этот вопрос вам надо начертить вектор от исходной точки путешествия (Киев) и до конечной (Львов). Новый вектор определяют результат всего путешествия от начала и до конца.
С = А+В , где С - сумма векторов или результирующий вектор
Вектора можно не только складывать, но и вычитать! Для этого надо совместить основания вычитаемого и вычитающего векторов и соединить их концы со стрелками:
Наложим на наши вектора координатную сетку. Для вектора А можно сказать, что он направлен на 5 клеток вверх (положительное значение оси Y) и на 3 клетки влево (отрицательное значение оси Х): X=-3; Y=5.
Для вектора В: направление на 4 клетки влево и 7 клеток вниз: X=-4; Y=-7.
Т.о., для сложения векторов по осям X и Y надо сложить их координаты. Чтобы получить координаты результирующего вектора по осям X и Y:
Рассмотрим задачу: шар движется со скоростью 10м/с по наклонной плоскости с длиной основания X=1м, распложенной под 30° к горизонту. Требуется определить время, за которое шар переместится от начала к концу плоскости.
В данной задаче скорость является вектором V с величиной 10м/с и направлением α=30° к горизонтали. Чтобы определить скорость перемещения шара вдоль основания наклонной плоскости, нам надо определить X-составляющую перемещения шара, которая является скаляром (имеет только значение, но не направление) и обозначается V x . Аналогично, Y-составляющая скорости также скаляр и обозначается V y . Вектор скорости через составляющие: V = (V x ;V y)
Определим составляющие (V x ;V y). Вспоминаем тригонометрию:
V x = V·cosα
V y = V·sinα
Х-составляющая скорости шара:
V x = V·cosα = V·cos30° = 10,0·0,866 = 8,66 м/с
Горизонтальная скорость шара равна 8,66 м/с.
Т.к. длина основания наклонной плоскости равна 1м, то это расстояние шар преодолеет за:
1,00(м)/8,66(м/с) = 0,12 с
Т.о., шару потребуется 0,12с для перемещения вдоль наклонной плоскости. Ответ: 0,12с
Интереса ради определим Y-составляющую скорости:
V y = V·sinα = 10·1/2 = 5,0 м/с
Поскольку время "путешествия" шара одинаково для обеих составляющих, то можем определить высоту Y, с которой катился шар:
5,0(м/с)·0,12(с) = 0,6 м
Расстояние, пройденное шаром:
Рассмотрим задачу, обратную предыдущей:
Шар переместился вдоль наклонной плоскости на высоту 0,6м, при этом в горизонтальной плоскости его перемещение составило 1,0м. Необходимо найти расстояние, пройденное шаром и угол.
Расстояние вычисляем по теореме Пифагора:
L = √1,00 2 + 0,60 2 = √1,36 = 1,16м
По тригонометрии:
X = L·cosα; Y = L·sinα
X/L = cosα; Y/L = sinα
Теперь можно найти угол:
α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)
Подставляем цифры:
α = arccos(1/1,16) = 30°
Промежуточное вычисление L можно исключить:
Y = X·tgα
X и y называется вектор z такой, что z+y=x .
Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.
Построим разность векторов и .
Для построения разницы векторов z=x-y , нужно сложить вектор x с противоположным к y вектором y" . Противоположный вектор y" строится просто:
Вектор y" является противоположным к вектору y , так как y+y"= 0, где 0 - нулевой вектор соответствующего размера. Далее выполняется сложение векторов x и y" :
Из выражения (1) видно что для построения разницы векторов достаточно вычислить разницы соответствующих координатов векторов x и y .
Рис. 1
На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлен разность векторов x =(10,3) и y =(2,4).
Вычислим z=x-y =(10-3,3-4)=(7,-1). Сравним полученный результат с геометрической интерпретацией. Действительно, после построения вектора y" и параллельного перемещения начальной точки вектора y" на конечную точку вектора x , получим вектор y"" , а после сложения векторов x и y"" , получим вектор z .
Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.
Рис. 2
На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлен разность векторов x =AB и y =CD , где A (1,0), B (11,3), C (1,2), D (3,6). Для вычисления вектора z=x-y , построен противоположный к вектору y вектор y" :
Далее нужно сложить векторы x и y" . Вектор y" перемещается параллельно так, чтобы точка C" совпала с точкой B . Для этого вычисляются разницы координатов точек B и С .
Статьи по теме: | |
Душевнобольное искусство
О том, что психическими расстройствами страдали Ван Гог и Камилла... Расторопша — лечебные свойства уникальной травы и продуктов из нее Расторопша семена полезные свойства и противопоказания
Довольно высокое растение, которое имеет крупные пурпурные или лиловые... Сценарий на юбилей любимой маме Угадай мелодию их кинофильмов
За плечами долгий брак,Он не шутка, не пустяк!Шестьдесят он длится лет,В... |