Шугаман функцийн коэффициентийг хамгийн бага квадратын аргаар тодорхойлох. Туршилтын өгөгдлийн ойролцоо

Хамгийн бага квадрат аргарегрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг тооцоолоход ашигладаг.

Шинж чанар хоорондын стохастик хамаарлыг судлах аргуудын нэг бол регрессийн шинжилгээ юм.
Регрессийн шинжилгээ гэдэг нь өөр (эсвэл бусад) хувьсагчийн (хүчин зүйл-шинж чанар) нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний (үр дүнгийн шинж чанар) дундаж утгыг олдог регрессийн тэгшитгэлийн гаралт юм. Үүнд дараах алхмууд орно.

холболтын хэлбэрийг сонгох (аналитик регрессийн тэгшитгэлийн төрөл);
тэгшитгэлийн параметрийн тооцоо;
аналитик регрессийн тэгшитгэлийн чанарын үнэлгээ.

Ихэнхдээ шугаман хэлбэрийг шинж чанаруудын статистик хамаарлыг тодорхойлоход ашигладаг. Шугаман харилцаанд анхаарлаа хандуулж байгаа нь түүний параметрүүдийн эдийн засгийн тодорхой тайлбар, хувьсах хэмжигдэхүүний хязгаарлагдмал өөрчлөлт, ихэнх тохиолдолд шугаман бус хэлбэрийг (логарифм эсвэл хувьсагчийн орлуулалтаар) тооцоолол хийх зорилгоор шугаман хэлбэрт шилжүүлдэгтэй холбон тайлбарладаг. .
Шугаман хос хамаарлын хувьд регрессийн тэгшитгэл нь y i =a+b·x i +u i хэлбэртэй байна. Энэ тэгшитгэлийн a ба b параметрүүдийг статистик ажиглалтын x ба у өгөгдлөөр тооцсон болно. Ийм үнэлгээний үр дүн нь тэгшитгэл юм: , энд , a ба b параметрийн тооцоолол , регрессийн тэгшитгэлээс (тооцсон утга) олж авсан шинж чанарын (хувьсагчийн) утга юм.

Ихэнхдээ параметрүүдийг тооцоолоход ашигладаг хамгийн бага квадратын арга (LSM).
Хамгийн бага квадратын арга нь регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн хамгийн сайн (тогтвортой, үр ашигтай, шударга бус) үнэлгээг өгдөг. Гэхдээ санамсаргүй нэр томъёо (u) ба бие даасан хувьсагч (x)-ын талаархи тодорхой таамаглалууд хангагдсан тохиолдолд л (OLS таамаглалыг үзнэ үү).

Шугаман хос тэгшитгэлийн параметрүүдийг хамгийн бага квадратын аргаар тооцоолох асуудалдараах байдалтай байна: үр дүнгийн шинж чанарын бодит утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр нь тооцоолсон утгуудаас y i - хамгийн бага байх параметрүүдийн ийм тооцоог олж авах.
Албан ёсоор OLS шалгуурингэж бичиж болно: .

Хамгийн бага квадратын аргуудын ангилал

Хамгийн бага квадрат арга.
Хамгийн их магадлалын арга (хэвийн сонгодог шугаман регрессийн загварын хувьд регрессийн үлдэгдлийн хэвийн байдлыг тогтооно).
Алдааны автокорреляци болон гетероскедастикийн тохиолдолд ерөнхийлсөн хамгийн бага квадратын OLS аргыг ашигладаг.
Жинлэсэн хамгийн бага квадратын арга (гетероскедатик үлдэгдэл бүхий OLS-ийн онцгой тохиолдол).

Гол санааг тайлбарлая сонгодог хамгийн бага квадрат арга график. Үүний тулд тэгш өнцөгт координатын систем дэх ажиглалтын өгөгдөл (x i, y i, i=1;n) дээр үндэслэн тархалтын графикийг байгуулна (ийм тархалтын графикийг корреляцийн талбар гэнэ). Корреляцийн талбайн цэгүүдэд хамгийн ойр байрлах шулуун шугамыг сонгохыг оролдъё. Хамгийн бага квадратын аргын дагуу шугамыг корреляцийн талбайн цэгүүд ба энэ шугамын хоорондох босоо зайны квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байхаар сонгоно.

Энэ асуудлын математик тэмдэглэгээ: .
y i ба x i =1...n утгууд нь бидэнд мэдэгдэж байгаа бөгөөд эдгээр нь ажиглалтын өгөгдөл юм. S функцэд тэдгээр нь тогтмолуудыг илэрхийлдэг. Энэ функцын хувьсагч нь параметрүүдийн шаардлагатай тооцоолол юм - , . Хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд параметр бүрийн хувьд энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолж, тэгтэй тэнцүүлэх шаардлагатай. .
Үүний үр дүнд бид 2 хэвийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна.
Энэ системийг шийдэж, бид шаардлагатай параметрийн тооцоог олно.

Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн тооцооны зөв эсэхийг дүнг харьцуулах замаар шалгаж болно (тооцооллын дугуйрсан байдлаас шалтгаалан зарим зөрүүтэй байж болно).
Параметрийн тооцоог тооцоолохын тулд та 1-р хүснэгтийг үүсгэж болно.
Регрессийн коэффициент b тэмдэг нь харилцааны чиглэлийг заана (хэрэв b >0 бол хамаарал шууд, хэрэв b бол<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Албан ёсоор a параметрийн утга нь x нь тэгтэй тэнцэх y-ийн дундаж утга юм. Хэрэв атрибут хүчин зүйл нь тэг утгагүй бөгөөд байж чадахгүй бол a параметрийн дээрх тайлбар нь утгагүй болно.

Онцлог шинж чанаруудын хоорондын харилцааны ойр байдлыг үнэлэх шугаман хос корреляцийн коэффициент - r x,y ашиглан гүйцэтгэнэ. Үүнийг дараах томъёогоор тооцоолж болно. . Үүнээс гадна шугаман хос корреляцийн коэффициентийг b регрессийн коэффициентээр тодорхойлж болно: .
Шугаман хос корреляцийн коэффициентийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь -1-ээс +1 хүртэл байна. Корреляцийн коэффициентийн тэмдэг нь харилцааны чиглэлийг заана. Хэрэв r x, y >0 бол холболт шууд байна; хэрэв r x, y<0, то связь обратная.
Хэрэв энэ коэффициент хэмжигдэхүүнээр нэгдмэл байвал шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг нэлээд ойр шугаман гэж тайлбарлаж болно. Хэрэв түүний модуль нь нэг ê r x, y ê =1-тэй тэнцүү бол шинж чанаруудын хоорондын хамаарал функциональ шугаман байна. Хэрэв x ба y шинж чанарууд нь шугаман хамааралгүй бол r x,y нь 0-тэй ойролцоо байна.
r x,y-ийг тооцоолохдоо 1-р хүснэгтийг ашиглаж болно.

Хүснэгт 1

N ажиглалт	x i	y i	x i ∙y i
1	x 1	y 1	x 1 y 1
2	x 2	y 2	x 2 y 2
...
n	x n	у н	x n y n
Баганын нийлбэр	∑x	∑ ж	∑xy
Дундаж утга

Үүссэн регрессийн тэгшитгэлийн чанарыг үнэлэхийн тулд детерминацийн онолын коэффициент - R 2 yx-ийг тооцоолно.

,
Энд d 2 нь регрессийн тэгшитгэлээр тайлбарласан y-ийн дисперс;
e 2 - y-ийн үлдэгдэл (регрессийн тэгшитгэлээр тайлбарлагдаагүй) дисперс;
s 2 y - y-ийн нийт (нийт) дисперс.
Детерминацийн коэффициент нь регресс (болон улмаар х хүчин зүйл)-ээр тайлбарласан үр дүнгийн шинж чанарын y-ийн өөрчлөлтийн (тархалтын) хувь хэмжээг тодорхойлдог. Тодорхойлох коэффициент R 2 yx нь 0-ээс 1 хүртэлх утгыг авна. Үүний дагуу 1-R 2 yx утга нь загвар болон техникийн үзүүлэлтийн алдааг харгалзан үзээгүй бусад хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүссэн y хэлбэлзлийн эзлэх хувийг тодорхойлдог.
Хосолсон шугаман регрессийн үед R 2 yx =r 2 yx.

Энэ нь шинжлэх ухаан, практик үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт хамгийн өргөн хэрэглээг олж авдаг. Энэ нь физик, хими, биологи, эдийн засаг, социологи, сэтгэл судлал гэх мэт байж болно. Хувь тавилангийн хүслээр би эдийн засгийн асуудалтай байнга тулгардаг тул өнөөдөр би чамайг гайхалтай улс руу аялуулах болно. Эконометрик=) ...Чи яаж хүсээгүй юм бэ?! Тэнд маш сайн байна - та шийдвэрээ гаргах хэрэгтэй! ...Гэхдээ таны хүсч байгаа зүйл бол асуудлыг шийдэж сурах явдал юм хамгийн бага квадратын арга. Мөн ялангуяа хичээнгүй уншигчид үүнийг үнэн зөвөөр шийдээд зогсохгүй МАШ ШУУРХАЙ шийдэж сурах болно ;-) Гэхдээ эхлээд асуудлын ерөнхий мэдэгдэл+ дагалдах жишээ:

Тодорхой сэдвийн хүрээнд тоон илэрхийлэл бүхий үзүүлэлтүүдийг судалж үзье. Үүний зэрэгцээ индикатор нь тухайн үзүүлэлтээс хамаардаг гэж үзэх бүх үндэслэл бий. Энэ таамаглал нь шинжлэх ухааны таамаглал эсвэл үндсэн нийтлэг ойлголтод суурилсан байж болно. Гэсэн хэдий ч шинжлэх ухааныг орхиж, илүү их дур сонирхлыг татдаг газруудыг, тухайлбал хүнсний дэлгүүрүүдийг судалцгаая. гэж тэмдэглэе:

– хүнсний дэлгүүрийн жижиглэнгийн худалдааны талбай, м.кв,
- хүнсний дэлгүүрийн жилийн эргэлт, сая рубль.

Дэлгүүрийн талбай том байх тусам ихэнх тохиолдолд эргэлт их байх нь тодорхой юм.

Хэнгэрэг ашиглан ажиглалт/туршилт/тооцоолол/бүжиг хийсний дараа бидэнд тоон мэдээлэл байна гэж бодъё.

Хүнсний дэлгүүрүүдийн хувьд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна: - энэ бол 1-р дэлгүүрийн талбай, - жилийн эргэлт, - 2-р дэлгүүрийн талбай, - жилийн эргэлт гэх мэт. Дашрамд хэлэхэд, нууцын зэрэглэлтэй материалд хандах шаардлагагүй - худалдааны эргэлтийн нэлээд үнэн зөв үнэлгээг дараахь аргаар авах боломжтой. математик статистик. Гэсэн хэдий ч анхаарал сарниулахгүй байцгаая, арилжааны тагнуулын курс аль хэдийн төлбөртэй =)

Хүснэгтийн өгөгдлийг цэг хэлбэрээр бичиж, танил хэлбэрээр дүрсэлж болно Декарт систем .

Нэг чухал асуултанд хариулъя: Чанартай судалгаа хийхэд хэдэн оноо шаардлагатай вэ?

Том байх тусмаа сайн. Хамгийн бага зөвшөөрөгдөх багц нь 5-6 онооноос бүрдэнэ. Нэмж дурдахад, өгөгдлийн хэмжээ бага бол "гажиг" үр дүнг түүвэрт оруулах боломжгүй. Жишээлбэл, жижиг элит дэлгүүр нь "хамт ажиллагсдаасаа" илүү их хэмжээний захиалга авч, улмаар таны олох ёстой ерөнхий хэв маягийг гажуудуулж чадна!

Энгийнээр хэлэхэд бид функц сонгох хэрэгтэй. хуваарьцэгүүдэд аль болох ойр өнгөрдөг . Энэ функцийг нэрлэдэг ойртуулж байна (ойролцоо - ойролцоо)эсвэл онолын функц . Ерөнхийдөө энд нэн даруй тодорхой "өрсөлдөгч" гарч ирнэ - график нь БҮХ цэгүүдээр дамждаг өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнт юм. Гэхдээ энэ сонголт нь төвөгтэй бөгөөд ихэвчлэн буруу байдаг. (Учир нь график нь үргэлж "гогцоо" байх бөгөөд үндсэн чиг хандлагыг муу тусгах болно).

Тиймээс хайж буй функц нь маш энгийн байх ёстой бөгөөд үүний зэрэгцээ хамаарлыг хангалттай тусгах ёстой. Таны таамаглаж байгаагаар ийм функцийг олох аргуудын нэгийг нэрлэдэг хамгийн бага квадратын арга. Эхлээд түүний мөн чанарыг ерөнхийд нь авч үзье. Зарим функцийг туршилтын өгөгдлийн ойролцоолъё:

Энэ ойролцоо тооцооллын үнэн зөвийг хэрхэн үнэлэх вэ? Туршилтын болон функциональ утгуудын ялгааг (хазайлт) тооцоолъё (бид зураг судалдаг). Хамгийн түрүүнд нийлбэр нь хэр их байгааг тооцоолох бодол орж ирдэг, гэхдээ асуудал нь ялгаа нь сөрөг байж болно. (Жишээлбэл, ) мөн ийм нийлбэрийн үр дүнд үүссэн хазайлтууд бие биенээ хүчингүй болгоно. Тиймээс, ойролцоогоор тооцооллын үнэн зөвийг тооцоолохын тулд нийлбэрийг авахыг хүсч байна. модулиудхазайлт:

эсвэл нурсан: (хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол: - энэ бол нийлбэр дүрс, мөн - 1-ээс хооронд утгыг авдаг туслах "тоолуур" хувьсагч).

Өөр өөр функц бүхий туршилтын цэгүүдийг ойртуулах замаар бид өөр өөр утгыг олж авах бөгөөд энэ нийлбэр бага байх тохиолдолд функц илүү нарийвчлалтай байх нь ойлгомжтой.

Ийм арга байдаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг хамгийн бага модулийн арга. Гэсэн хэдий ч практик дээр энэ нь илүү өргөн тархсан байна хамгийн бага квадрат арга, боломжит сөрөг утгыг модулиар биш харин хазайлтыг квадратаар арилгадаг.

, үүний дараа хүчин чармайлт нь квадрат хазайлтын нийлбэр байхаар функцийг сонгоход чиглэгддэг аль болох бага байсан. Үнэндээ энэ аргын нэр эндээс гаралтай.

Одоо бид өөр нэг чухал зүйл рүү буцна: дээр дурьдсанчлан сонгосон функц нь маш энгийн байх ёстой - гэхдээ ийм олон функцууд байдаг: шугаман , гипербол, экспоненциал, логарифм, квадрат гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, би энд даруй "үйл ажиллагааны талбарыг багасгахыг" хүсч байна. Судалгаанд хамрагдахын тулд аль ангиллын функцийг сонгох ёстой вэ? Анхдагч боловч үр дүнтэй техник:

- Хамгийн хялбар арга бол цэгүүдийг дүрслэх явдал юм зураг дээр, тэдгээрийн байршилд дүн шинжилгээ хийх. Хэрэв тэд шулуун шугамаар гүйх хандлагатай бол та хайх хэрэгтэй шугамын тэгшитгэл оновчтой утгуудтай ба . Өөрөөр хэлбэл, квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байхаар ИЙМ коэффициентүүдийг олох даалгавар юм.

Хэрэв цэгүүд нь жишээлбэл, дагуу байрладаг бол гипербол, тэгвэл шугаман функц нь муу ойролцооллыг өгөх нь ойлгомжтой. Энэ тохиолдолд бид гиперболын тэгшитгэлийн хамгийн "таатай" коэффициентийг хайж байна – квадратуудын хамгийн бага нийлбэрийг өгдөг хүмүүс .

Одоо бид хоёр тохиолдолд хоёуланд нь ярьж байгааг анхаарна уу хоёр хувьсагчийн функцууд, хэний аргументууд вэ хараат байдлын параметрүүдийг хайсан:

Тэгээд үндсэндээ бид стандарт асуудлыг шийдэх хэрэгтэй - олох хоёр хувьсагчийн хамгийн бага функц.

Бидний жишээг санацгаая: "дэлгүүр"-ийн цэгүүд шулуун шугамд байрладаг бөгөөд үүнд итгэх бүх үндэслэл бий гэж бодъё. шугаман хамааралжижиглэнгийн худалдааны талбайн эргэлт. Квадрат хазайлтын нийлбэр байхаар ИЙМ “a” ба “be” коэффициентүүдийг олъё. хамгийн жижиг нь байсан. Бүх зүйл ердийнх шигээ - эхлээд 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив. дагуу шугаман байдлын дүрэмТа нийлбэр дүрсний доор шууд ялгаж болно:

Хэрэв та энэ мэдээллийг эссэ эсвэл курсын ажилд ашиглахыг хүсч байвал эх сурвалжуудын жагсаалтад байгаа холбоосыг өгсөнд би маш их талархах болно; та ийм нарийн тооцоог хэд хэдэн газраас олох болно.

Стандарт системийг бий болгоё:

Бид тэгшитгэл бүрийг "хоёр"-оор багасгаж, үүнээс гадна нийлбэрүүдийг "эвддэг".

Анхаарна уу : "a" болон "be"-г яагаад нийлбэрийн дүрсээс гадуур авч болохыг бие даан шинжлэх. Дашрамд хэлэхэд, албан ёсоор үүнийг нийлбэрээр хийж болно

Системийг "хэрэглэсэн" хэлбэрээр дахин бичье.

Үүний дараа бидний асуудлыг шийдэх алгоритм гарч ирж эхэлнэ:

Бид цэгүүдийн координатыг мэддэг үү? Бид мэднэ. Дүн бид олж чадах уу? Амархан. Хамгийн энгийнийг нь хийцгээе Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем("a" ба "be"). Бид системийг шийддэг, жишээлбэл, Крамерын арга, үүний үр дүнд бид суурин цэгийг олж авдаг. Шалгаж байна экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл, бид энэ үед функцийг шалгаж болно яг хүрдэг хамгийн бага. Шалгалт нь нэмэлт тооцооллыг агуулдаг тул бид үүнийг хөшигний ард үлдээх болно (шаардлагатай бол алга болсон хүрээг харж болно). Бид эцсийн дүгнэлтийг хийж байна:

Чиг үүрэг хамгийн зөв зам (ядаж бусад шугаман функцтэй харьцуулахад)туршилтын цэгүүдийг ойртуулдаг . Товчоор хэлбэл, түүний график нь эдгээр цэгүүдэд аль болох ойртдог. Уламжлал ёсоор эконометрикүр дүнд нь ойртох функцийг мөн нэрлэдэг хосолсон шугаман регрессийн тэгшитгэл .

Хэлэлцэж буй асуудал нь практик ач холбогдолтой юм. Бидний жишээн дээр Eq. ямар худалдааны эргэлтийг урьдчилан таамаглах боломжийг танд олгоно ("Игрек")дэлгүүр нь борлуулалтын талбайн нэг буюу өөр үнэ цэнэтэй байх болно ("x"-ийн нэг буюу өөр утга). Тийм ээ, үр дүнгийн таамаглал нь зөвхөн урьдчилсан мэдээ байх болно, гэхдээ олон тохиолдолд энэ нь нэлээд үнэн зөв байх болно.

Би "бодит" тоонуудтай нэг л асуудлыг шинжлэх болно, учир нь үүнд ямар ч бэрхшээл байхгүй - бүх тооцоолол нь 7-8-р сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн түвшинд байна. Тохиолдлын 95 хувьд нь зөвхөн шугаман функцийг олохыг танаас хүсэх боловч нийтлэлийн төгсгөлд би оновчтой гипербол, экспоненциал болон бусад функцүүдийн тэгшитгэлийг олоход хэцүү биш гэдгийг харуулах болно.

Үнэн хэрэгтээ үлдсэн зүйл бол амласан сайхан зүйлсийг тараах явдал юм - ингэснээр та ийм жишээг үнэн зөв төдийгүй хурдан шийдэж сурах болно. Бид стандартыг анхааралтай судалж байна:

Даалгавар

Хоёр үзүүлэлтийн хоорондын хамаарлыг судалсны үр дүнд дараах хос тоонуудыг олж авав.

Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан эмпирикийг хамгийн сайн ойртуулах шугаман функцийг ол (туршлагатай)өгөгдөл. Декартын тэгш өнцөгт координатын систем дэх туршилтын цэгүүд болон ойролцоолсон функцийн графикийг зурах зураг зурах. . Эмпирик болон онолын утгуудын хоорондох квадрат хазайлтын нийлбэрийг ол. Энэ функц нь илүү дээр байх эсэхийг олж мэдээрэй (хамгийн бага квадратын аргын үүднээс)туршилтын цэгүүдийг ойртуулах.

"Х" гэсэн утга нь байгалиас заяасан бөгөөд энэ нь тодорхой утгатай утгатай болохыг анхаарна уу, би үүнийг дараа нь ярих болно; гэхдээ тэдгээр нь мэдээжийн хэрэг бутархай байж болно. Нэмж дурдахад, тодорхой даалгаврын агуулгаас хамааран "X" ба "тоглоомын" утгууд нь бүрэн эсвэл хэсэгчлэн сөрөг байж болно. За, бидэнд "нүүр царайгүй" даалгавар өгсөн бөгөөд бид үүнийг эхлүүлж байна шийдэл:

Системийн шийдэл болох оновчтой функцийн коэффициентийг бид олдог.

Илүү нягт бичлэг хийхийн тулд "тоологч" хувьсагчийг орхиж болно, учир нь нийлбэрийг 1-ээс .

Шаардлагатай дүнг хүснэгт хэлбэрээр тооцоолох нь илүү тохиромжтой.

Тооцооллыг бичил тооцоолуур дээр хийж болно, гэхдээ Excel програмыг ашиглах нь илүү хурдан бөгөөд алдаагүй байх болно; богино видео үзэх:

Тиймээс бид дараахь зүйлийг олж авна систем:

Энд та хоёр дахь тэгшитгэлийг 3 ба үржүүлж болно 1-р тэгшитгэлийн гишүүнээс 2-ыг хасах. Гэхдээ энэ бол аз юм - практик дээр систем нь ихэвчлэн бэлэг биш бөгөөд ийм тохиолдолд хэмнэлттэй байдаг Крамерын арга:
, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Шалгацгаая. Чамайг хүсэхгүй байгааг би ойлгож байна, гэхдээ яагаад алдааг орхиж болохгүй гэж? Олдсон шийдлийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулъя.

Харгалзах тэгшитгэлийн баруун талыг олж авсан бөгөөд энэ нь системийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.

Тиймээс хүссэн ойролцоолох функц: – -ээс бүх шугаман функцуудТэр бол туршилтын өгөгдлийг хамгийн сайн ойртуулдаг хүн юм.

Дургүй Чигээрээ дэлгүүрийн бараа эргэлтийн талбайн хамаарал, олсон хамаарал нь урвуу ("илүү их, бага" гэсэн зарчим), мөн энэ баримтыг тэр даруй сөрөг байдлаар илрүүлдэг налуу. Чиг үүрэг тодорхой үзүүлэлт 1 нэгжээр нэмэгдэхэд хамааралтай үзүүлэлтийн утга буурдаг болохыг бидэнд хэлдэг дундаж 0.65 нэгжээр. Тэдний хэлснээр, Сагаган үнэ өндөр байх тусам бага зарагддаг.

Ойролцоо функцийн графикийг зурахын тулд бид түүний хоёр утгыг олно.

мөн зургийг гүйцэтгэнэ:

Баригдсан шулуун шугамыг нэрлэдэг чиг хандлагын шугам (тухайлбал, шугаман чиг хандлагын шугам, өөрөөр хэлбэл ерөнхий тохиолдолд чиг хандлага нь шулуун шугам байх албагүй). "Тренд байх" гэсэн хэллэгийг хүн бүр мэддэг бөгөөд энэ нэр томъёонд нэмэлт тайлбар хэрэггүй гэж би бодож байна.

Квадрат хазайлтын нийлбэрийг тооцоод үзье эмпирик болон онолын үнэт зүйлсийн хооронд. Геометрийн хувьд энэ нь "бөөрөлзгөнө" сегментүүдийн уртын квадратуудын нийлбэр юм (хоёр нь маш жижиг тул харагдахгүй).

Тооцооллыг хүснэгтэд нэгтгэн харуулъя.

Дахин хэлэхэд тэдгээрийг гараар хийж болно; ямар ч тохиолдолд би 1-р зүйлд жишээ өгөх болно:

Гэхдээ үүнийг аль хэдийн мэддэг аргаар хийх нь илүү үр дүнтэй байдаг:

Бид дахин нэг удаа давтана: Хүлээн авсан үр дүнгийн утга нь юу вэ?-аас бүх шугаман функцууд y функц үзүүлэлт нь хамгийн бага, өөрөөр хэлбэл түүний гэр бүлд энэ нь хамгийн сайн ойролцоо байна. Дашрамд хэлэхэд, асуудлын эцсийн асуулт нь санамсаргүй биш юм: хэрэв санал болгож буй экспоненциал функц байвал яах вэ? Туршилтын цэгүүдийг ойртуулах нь дээр үү?

Квадрат хазайлтын харгалзах нийлбэрийг олъё - ялгахын тулд би тэдгээрийг "эпсилон" үсгээр тэмдэглэнэ. Техник нь яг адилхан:

Дахин хэлэхэд, 1-р цэгийн тооцоо:

Excel дээр бид стандарт функцийг ашигладаг EXP (синтаксийг Excel-ийн тусламжаас олж болно).

Дүгнэлт: , энэ нь экспоненциал функц нь шулуун шугамаас муу туршилтын цэгүүдийг ойролцоолсон гэсэн үг юм. .

Гэхдээ энд "илүү муу" гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хараахан гэсэн үг биш, юу болсон бэ. Одоо би энэ экспоненциал функцийн графикийг бүтээсэн бөгөөд энэ нь бас цэгүүдийн ойролцоо дамждаг - аналитик судалгаагүйгээр аль функц илүү үнэн зөв болохыг хэлэхэд хэцүү байдаг.

Энэ нь шийдлийг дуусгаж, би аргументийн байгалийн үнэ цэнийн талаархи асуулт руу буцаж байна. Төрөл бүрийн судалгаанд ихэвчлэн эдийн засаг эсвэл социологийн байгалийн "X"-ийг сар, жил эсвэл бусад ижил хугацааны интервалыг тоолоход ашигладаг. Жишээлбэл, дараах асуудлыг авч үзье.

Энэ нь түүний параметрүүдийг эдийн засгийн тодорхой тайлбарлах хэлбэрээр эконометрикт өргөн хэрэглэгддэг.

Шугаман регресс нь хэлбэрийн тэгшитгэлийг олоход хүргэдэг

эсвэл

Маягтын тэгшитгэл заасан параметрийн утгууд дээр үндэслэн зөвшөөрнө Xүр дүнгийн шинж чанарын онолын утгуудтай байх ба үүнд хүчин зүйлийн бодит утгыг орлуулна. X.

Шугаман регрессийн бүтээн байгуулалт нь түүний параметрүүдийг тооцоолоход хүргэдэг. АТэгээд В.Шугаман регрессийн параметрийн тооцооллыг янз бүрийн аргыг ашиглан олж болно.

Шугаман регрессийн параметрүүдийг тооцоолох сонгодог арга нь дээр суурилдаг хамгийн бага квадратын арга(MNC).

Хамгийн бага квадратын арга нь ийм параметрийн тооцоог олж авах боломжийг олгодог АТэгээд V,үр дүнгийн шинж чанарын бодит утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр (y)тооцоолсон (онолын) хамгийн бага:

Функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд параметр бүрийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолох хэрэгтэй АТэгээд бмөн тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүл.

гэж тэмдэглэе S-ээр дамжуулан, дараа нь:

Томьёог хөрвүүлснээр параметрүүдийг тооцоолох ердийн тэгшитгэлийн дараах системийг олж авна АТэгээд В:

Хэвийн тэгшитгэлийн системийг (3.5) хувьсагчдыг дэс дараалан арилгах арга эсвэл тодорхойлогчийн аргаар шийдвэрлэх нь параметрийн шаардлагатай тооцоог олно. АТэгээд В.

Параметр Врегрессийн коэффициент гэж нэрлэдэг. Үүний утга нь хүчин зүйлийн нэг нэгжээр өөрчлөгдсөн үр дүнгийн дундаж өөрчлөлтийг харуулдаг.

Регрессийн тэгшитгэл нь холболтын ойр байдлын үзүүлэлтээр үргэлж нэмэгддэг. Шугаман регрессийг ашиглах үед ийм үзүүлэлт нь шугаман корреляцийн коэффициент юм. Шугаман корреляцийн коэффициентийн томьёоны янз бүрийн өөрчлөлтүүд байдаг. Тэдгээрийн заримыг доор өгөв.

Мэдэгдэж байгаагаар шугаман корреляцийн коэффициент нь дараахь хязгаарт багтдаг: -1 ≤ ≤ 1.

Шугаман функцийг сонгох чанарыг үнэлэхийн тулд квадратыг тооцоолно

Шугаман корреляцийн коэффициент гэж нэрлэдэг тодорхойлох коэффициент.Тодорхойлолтын коэффициент нь үүссэн шинж чанарын дисперсийн эзлэх хувийг тодорхойлдог у,Үр дүнгийн шинж чанарын нийт хэлбэлзлээр регрессээр тайлбарлав:

Үүний дагуу 1-ийн утга нь хэлбэлзлийн хувийг тодорхойлдог у,загварт харгалзаагүй бусад хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүдэлтэй.

Өөрийгөө хянах асуултууд

1. Хамгийн бага квадратын аргын мөн чанар?

2. Хос регресс нь хэдэн хувьсагч өгдөг вэ?

3. Өөрчлөлт хоорондын уялдаа холбоог ямар коэффициент тодорхойлдог вэ?

4. Детерминацын коэффициентийг ямар хязгаарт тодорхойлох вэ?

5. Корреляци-регрессийн шинжилгээнд b параметрийн үнэлгээ?

1. Кристофер Догерти. Эконометрикийн танилцуулга. - М .: INFRA - M, 2001 - 402 х.

2. С.А. Бородич. Эконометрик. Минск ХХК "Шинэ мэдлэг" 2001 он.

3. Р.У. Рахметова Эконометрикийн богино курс. Заавар. Алматы. 2004. -78х.

4. I.I. Елисеева.Эконометрик. - М.: "Санхүү, статистик", 2002 он

5. Сар тутмын мэдээлэл, аналитик сэтгүүл.

Шугаман бус эдийн засгийн загварууд. Шугаман бус регрессийн загварууд. Хувьсагчийн хувиргалт.

Шугаман бус эдийн засгийн загварууд..

Хувьсагчийн хувиргалт.

Уян хатан байдлын коэффициент.

Хэрэв эдийн засгийн үзэгдлүүдийн хооронд шугаман бус хамаарал байгаа бол тэдгээрийг холбогдох шугаман бус функцээр илэрхийлнэ: жишээлбэл, тэгш талт гипербол. , хоёрдугаар зэргийн параболууд гэх мэт.

Шугаман бус регрессийн хоёр ангилал байдаг.

1. Шинжилгээнд орсон тайлбарлагч хувьсагчдын хувьд шугаман бус, харин тооцоолсон параметрийн хувьд шугаман регресс, жишээлбэл:

Төрөл бүрийн зэрэгтэй олон гишүүнтүүд - , ;

Тэгш талт гипербол - ;

Хагас гарифм функц - .

2. Тооцоолсон параметрүүдэд шугаман бус регрессүүд, жишээлбэл:

Эрчим хүч -;

Үзүүлэн харуулах -;

Экспоненциал - .

Үүссэн шинж чанарын бие даасан утгуудын квадрат хазайлтын нийт нийлбэр цагтдундаж утгаас олон шалтгааны нөлөөгөөр үүсдэг. Бүх шалтгааныг нөхцөлт байдлаар хоёр бүлэгт хуваацгаая. судалж буй хүчин зүйл xТэгээд бусад хүчин зүйлүүд.

Хэрэв хүчин зүйл нь үр дүнд нөлөөлөхгүй бол график дээрх регрессийн шугам тэнхлэгтэй параллель байна ӨөТэгээд

Дараа нь үүссэн шинж чанарын бүх хэлбэлзэл нь бусад хүчин зүйлийн нөлөөллөөс шалтгаалж, квадрат хазайлтын нийт нийлбэр нь үлдэгдэлтэй давхцах болно. Хэрэв бусад хүчин зүйлүүд үр дүнд нөлөөлөхгүй бол уясан-тай Xфункциональ ба квадратуудын үлдэгдэл нийлбэр нь тэг байна. Энэ тохиолдолд регрессийн тайлбарласан квадрат хазайлтын нийлбэр нь нийт квадратуудын нийлбэртэй ижил байна.

Корреляцийн талбайн бүх цэгүүд регрессийн шугам дээр байдаггүй тул тэдгээрийн тархалт нь хүчин зүйлийн нөлөөллийн үр дүнд үргэлж тохиолддог. X, өөрөөр хэлбэл регресс цагт By X,болон бусад шалтгаанаас үүдэлтэй (тайлбаргүй өөрчлөлт). Урьдчилан таамаглахад регрессийн шугамын тохиромжтой байдал нь шинж чанарын нийт өөрчлөлтийн аль хэсэгээс хамаарна. цагттайлбарласан өөрчлөлтийг тооцдог

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв регрессийн улмаас үүссэн квадрат хазайлтын нийлбэр нь квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрээс их байвал регрессийн тэгшитгэл нь статистикийн хувьд чухал бөгөөд хүчин зүйл нь Xүр дүнд чухал нөлөө үзүүлдэг у.

, өөрөөр хэлбэл шинж чанарын бие даасан өөрчлөлтийн эрх чөлөөний тоогоор. Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь популяцийн n нэгжийн тоо ба түүнээс тодорхойлогддог тогтмолуудын тоотой холбоотой. Судалж буй асуудалтай холбоотойгоор эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь хэдэн бие даасан хазайлтыг харуулах ёстой П

Регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлын үнэлгээг бүхэлд нь ашиглан өгсөн болно Ф- Фишерийн шалгуур. Энэ тохиолдолд регрессийн коэффициент нь тэгтэй тэнцүү гэсэн тэг таамаглал дэвшүүлсэн, өөрөөр хэлбэл. b = 0, улмаар хүчин зүйл Xүр дүнд нөлөөлөхгүй у.

F-туршилтын нэн даруй тооцоолохын өмнө дисперсийн шинжилгээ хийдэг. Үүний гол байрыг хувьсагчийн квадрат хазайлтын нийт нийлбэрийн задрал эзэлдэг. цагтдундаж утгаас цагт"тайлбарласан" ба "тайлбаргүй" гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана:

- квадрат хазайлтын нийт нийлбэр;

- регрессээр тайлбарласан квадрат хазайлтын нийлбэр;

- квадрат хазайлтын үлдэгдэл нийлбэр.

Аливаа квадрат хазайлтын нийлбэр нь эрх чөлөөний зэрэгтэй холбоотой байдаг , өөрөөр хэлбэл шинж чанарын бие даасан өөрчлөлтийн эрх чөлөөний тоогоор. Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь хүн амын нэгжийн тоотой холбоотой байдаг nмөн үүнээс тодорхойлогдсон тогтмолуудын тоогоор. Судалж буй асуудалтай холбоотойгоор эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь хэдэн бие даасан хазайлтыг харуулах ёстой Пөгөгдсөн квадратуудын нийлбэрийг бүрдүүлэхэд шаардагдах боломжтой.

Эрх чөлөөний зэрэгт хамаарах тархалтД.

F-харьцаа (F-туршилт):

Хэрэв тэг таамаглал үнэн бол, дараа нь хүчин зүйл болон үлдэгдэл хэлбэлзэл нь бие биенээсээ ялгаатай биш юм. H 0-ийн хувьд хүчин зүйлийн тархалт нь үлдэгдэл тархалтаас хэд дахин их байхын тулд няцаалт хийх шаардлагатай. Английн статистикч Снедекор чухал утгуудын хүснэгтүүдийг боловсруулсан Ф- тэг таамаглалын ач холбогдлын янз бүрийн түвшний хамаарал ба өөр өөр тооны эрх чөлөөний зэрэг. Хүснэгтийн утга Ф-шалгуур гэдэг нь тэг таамаглал байх магадлалын өгөгдсөн түвшинд санамсаргүй байдлаар ялгарах үед тохиолдож болох дисперсийн харьцааны хамгийн их утга юм. Тооцоолсон үнэ цэнэ Ф-хэрэв o хүснэгтээс их байвал харилцааг найдвартай гэж үзнэ.

Энэ тохиолдолд шинж тэмдгүүдийн хоорондын хамаарал байхгүй гэсэн таамаглалыг үгүйсгэж, энэ харилцааны ач холбогдлын талаар дүгнэлт гаргана. F баримт > F хүснэгт H 0 татгалзсан.

Хэрэв утга нь хүснэгтэд заасан хэмжээнээс бага байвал F баримт ‹, F хүснэгт, тэгвэл тэг таамаглалын магадлал нь тогтоосон түвшнээс өндөр бөгөөд харилцаа байгаа эсэх талаар буруу дүгнэлт хийх ноцтой эрсдэлгүйгээр үгүйсгэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд регрессийн тэгшитгэлийг статистикийн хувьд ач холбогдолгүй гэж үзнэ. Гэхдээ тэр хазайдаггүй.

Регрессийн коэффициентийн стандарт алдаа

Регрессийн коэффициентийн ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд түүний утгыг стандарт алдаатай харьцуулж, өөрөөр хэлбэл бодит утгыг тодорхойлно. т- Оюутны шалгалт: дараа нь тодорхой ач холбогдлын түвшин болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоогоор хүснэгтийн утгатай харьцуулна ( n- 2).

Стандарт параметрийн алдаа А:

Шугаман корреляцийн коэффициентийн ач холбогдлыг алдааны хэмжээг үндэслэн шалгана корреляцийн коэффициент t r:

Нийт шинж чанарын зөрүү X:

Олон шугаман регресс

Загварын барилга

Олон тооны регрессхоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйл бүхий үр дүнтэй шинж чанарын регрессийг илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн загвар

Судалгааны объектод нөлөөлж буй бусад хүчин зүйлийн нөлөөллийг үл тоомсорлож чадвал регресс нь загварчлалд сайн үр дүнг өгч чадна. Эдийн засгийн хувьсагчдын зан төлөвийг хянах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл судалж буй нэг хүчин зүйлийн нөлөөллийг үнэлэх бусад бүх нөхцлийн тэгш байдлыг хангах боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд та бусад хүчин зүйлсийн нөлөөллийг загварт оруулах замаар тодорхойлохыг хичээх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл олон регрессийн тэгшитгэлийг бий болгох. y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .

Олон тооны регрессийн гол зорилго нь олон тооны хүчин зүйл бүхий загварыг бий болгохын зэрэгцээ тэдгээрийн нөлөөллийг тусад нь тодорхойлох, түүнчлэн загварчлагдсан үзүүлэлтэд үзүүлэх нөлөөллийг хослуулах явдал юм. Загварын тодорхойлолтод хүчин зүйл сонгох, регрессийн тэгшитгэлийн төрлийг сонгох гэсэн хоёр асуудлыг багтаасан болно.

Хамгийн бага квадрат арга

Хамгийн бага квадрат арга ( OLS, OLS, энгийн хамгийн бага квадратууд) - түүврийн өгөгдлийг ашиглан регрессийн загваруудын үл мэдэгдэх параметрүүдийг тооцоолох регрессийн шинжилгээний үндсэн аргуудын нэг. Энэ арга нь регрессийн үлдэгдэл квадратуудын нийлбэрийг багасгахад суурилдаг.

Шийдэл нь шаардлагатай хувьсагчийн зарим функцын квадратуудын нийлбэрийг багасгах шалгуурт багтсан эсвэл хангасан тохиолдолд хамгийн бага квадратын аргыг өөрөө аль ч хэсэгт асуудлыг шийдвэрлэх арга гэж нэрлэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс хамгийн бага квадратын аргыг өгөгдсөн функцийг бусад (илүү энгийн) функцээр ойролцоогоор илэрхийлэх (ойролцоогоор) тэгшитгэл эсвэл хязгаарлалтыг хангах хэмжигдэхүүнүүдийн багцыг олоход ашиглаж болно. , гэх мэт.

MNC-ийн мөн чанар

(тайлбарласан) хувьсагчийн хоорондох магадлалын (регрессийн) хамаарлын зарим (параметр) загварыг өгье. yболон олон хүчин зүйл (тайлбарлах хувьсагч) x

Үл мэдэгдэх загварын параметрийн вектор хаана байна

- санамсаргүй загварын алдаа.

Эдгээр хувьсагчийн утгын талаархи түүвэр ажиглалтууд бас байг. Ажиглалтын дугаар () байг. Дараа нь ажиглалт дахь хувьсагчдын утгууд байна. Дараа нь b параметрийн өгөгдсөн утгуудын хувьд тайлбарласан y хувьсагчийн онолын (загвар) утгыг тооцоолох боломжтой.

Үлдэгдэлийн хэмжээ нь параметрийн утгаас хамаарна b.

Хамгийн бага квадратын аргын (энгийн, сонгодог) мөн чанар нь үлдэгдэлийн квадратуудын нийлбэр байх b параметрийг олох явдал юм. Квадратуудын үлдэгдэл нийлбэр) хамгийн бага байх болно:

Ерөнхий тохиолдолд энэ асуудлыг тоон оновчлолын (багасгах) аргаар шийдэж болно. Энэ тохиолдолд тэд ярьдаг шугаман бус хамгийн бага квадратууд(NLS эсвэл NLLS - Англи хэл) Шугаман бус хамгийн бага квадратууд). Ихэнх тохиолдолд аналитик шийдлийг олж авах боломжтой байдаг. Багасгах асуудлыг шийдэхийн тулд үл мэдэгдэх параметрүүд b-ээс ялгаж, деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар функцийн суурин цэгүүдийг олох шаардлагатай.

Хэрэв загварын санамсаргүй алдаа нь хэвийн тархсан, ижил хэлбэлзэлтэй, хамааралгүй бол OLS параметрийн тооцоолол нь хамгийн их магадлалтай тооцоолол (MLM)-тай ижил байна.

Шугаман загварын хувьд OLS

Регрессийн хамаарлыг шугаман болгоё:

Болъё yнь тайлбарласан хувьсагчийн ажиглалтын баганын вектор бөгөөд хүчин зүйлийн ажиглалтын матриц юм (матрицын мөрүүд нь тухайн ажиглалтын хүчин зүйлийн утгын векторууд, баганууд нь тухайн хүчин зүйлийн утгын векторууд юм. бүх ажиглалтанд). Шугаман загварын матриц дүрслэл нь:

Дараа нь тайлбарласан хувьсагчийн үнэлгээний вектор ба регрессийн үлдэгдэл вектор тэнцүү болно.

Үүний дагуу регрессийн үлдэгдэл квадратуудын нийлбэр нь тэнцүү байх болно

Параметрийн векторын хувьд энэ функцийг ялгаж, деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар бид тэгшитгэлийн системийг (матриц хэлбэрээр) олж авна.

Энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь шугаман загварын хамгийн бага квадратын тооцооны ерөнхий томъёог өгдөг.

Аналитик зорилгоор энэ томъёоны сүүлчийн дүрслэл нь ашигтай байдаг. Хэрэв регрессийн загварт өгөгдөл төвтэй, тэгвэл энэ дүрслэлд эхний матриц нь хүчин зүйлийн түүвэр ковариацын матриц гэсэн утгатай, хоёр дахь нь хамааралтай хувьсагчтай хүчин зүйлсийн ковариацын вектор юм. Хэрэв үүнээс гадна өгөгдөл нь мөн хэвийн болгосонМХБ-д (энэ нь эцсийн дүндээ стандартчилагдсан), дараа нь эхний матриц нь хүчин зүйлсийн түүвэр корреляцийн матриц, хоёр дахь вектор нь хамааралтай хувьсагчтай хүчин зүйлсийн түүвэр корреляцийн вектор гэсэн утгатай байна.

Загваруудын OLS тооцооны чухал шинж чанар тогтмолтой- барьсан регрессийн шугам нь түүврийн өгөгдлийн хүндийн төвөөр дамждаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал хангагдана.

Ялангуяа онцгой тохиолдолд, цорын ганц регрессор нь тогтмол байх үед бид цорын ганц параметрийн OLS үнэлгээ (тогтмол өөрөө) тайлбарласан хувьсагчийн дундаж утгатай тэнцүү болохыг олж мэднэ. Өөрөөр хэлбэл, олон тооны хуулиас сайн шинж чанараараа алдартай арифметик дундаж нь хамгийн бага квадратын тооцоолол юм - энэ нь түүнээс хазайсан квадратын хамгийн бага нийлбэрийн шалгуурыг хангадаг.

Жишээ нь: хамгийн энгийн (хосоор) регресс

Хосолсон шугаман регрессийн хувьд тооцооллын томъёог хялбаршуулсан (та матриц алгебргүйгээр хийж болно):

OLS тооцоологчдын шинж чанарууд

Юуны өмнө шугаман загваруудын хувьд OLS тооцоолол нь дээрх томьёоны дагуу шугаман тооцоолол гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Шударга бус OLS тооцооллын хувьд регрессийн шинжилгээний хамгийн чухал нөхцлийг биелүүлэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай: хүчин зүйлээс шалтгаалсан санамсаргүй алдааны математик хүлээлт тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл байдал, ялангуяа, хэрэв хангагдсан бол

санамсаргүй алдааны математикийн хүлээлт тэг, ба
хүчин зүйлс ба санамсаргүй алдаа нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Хоёрдахь нөхцөл - хүчин зүйлийн экзоген байдлын нөхцөл нь суурь юм. Хэрэв энэ өмчийг хангаагүй бол бараг бүх тооцоо нь туйлын хангалтгүй байх болно гэж бид таамаглаж болно: тэдгээр нь бүр тогтвортой биш байх болно (өөрөөр хэлбэл маш их хэмжээний мэдээлэл ч гэсэн энэ тохиолдолд өндөр чанарын тооцоог авах боломжийг бидэнд олгодоггүй. ). Сонгодог тохиолдолд санамсаргүй алдаанаас ялгаатай хүчин зүйлсийн детерминизмын талаар илүү хүчтэй таамаглал дэвшүүлсэн бөгөөд энэ нь автоматаар экзогенийн нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм. Ерөнхий тохиолдолд тооцооллыг нийцүүлэхийн тулд түүврийн хэмжээ хязгааргүй болтлоо өсөхөд матрицын зарим нэг бус матрицад ойртохын хамт экзогенийн нөхцөлийг хангахад хангалттай.

Тогтвортой байдал, шударга байдлаас гадна (ердийн) хамгийн бага квадратуудын тооцоо үр дүнтэй байхын тулд (шугаман бус үнэлгээний ангилалд хамгийн сайн) санамсаргүй алдааны нэмэлт шинж чанаруудыг хангасан байх ёстой.

Эдгээр таамаглалыг санамсаргүй алдааны векторын ковариацын матрицад зориулж томъёолж болно

Эдгээр нөхцлийг хангасан шугаман загварыг гэнэ сонгодог. Сонгодог шугаман регрессийн OLS тооцоолол нь бүх шугаман шударга бус тооцооллын ангилалд хамааралгүй, тууштай бөгөөд хамгийн үр дүнтэй тооцоолол юм (Англи ном зохиолд заримдаа товчлолыг ашигладаг. ЦЭНХЭР (Шилдэг шугаман үндэслэлгүй тооцоологч) - хамгийн сайн шугаман бус үнэлгээ; Оросын уран зохиолд Гаусс-Марковын теоремыг илүү их иш татдаг). Үзүүлэхэд хялбар тул коэффициентийн тооцооллын векторын ковариацын матриц нь дараахтай тэнцүү байна.

Ерөнхий OLS

Хамгийн бага квадратын арга нь өргөн хүрээний ерөнхий ойлголтыг бий болгодог. Үлдэгдлийн квадратуудын нийлбэрийг багасгахын оронд үлдэгдэл векторын эерэг тодорхой квадрат хэлбэрийг багасгаж болно, энд зарим тэгш хэмтэй эерэг тодорхой жинтэй матриц байна. Уламжлалт хамгийн бага квадратууд нь жингийн матриц нь таних матрицтай пропорциональ байдаг энэ аргын онцгой тохиолдол юм. Тэгш хэмтэй матрицуудын (эсвэл операторуудын) онолоос мэдэгдэж байгаачлан ийм матрицын хувьд задрал байдаг. Тиймээс, заасан функцийг дараах байдлаар илэрхийлж болно, өөрөөр хэлбэл энэ функцийг зарим өөрчлөгдсөн "үлдэгдэл" -ийн квадратуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Тиймээс бид хамгийн бага квадратын аргуудын ангиллыг ялгаж чадна - LS аргууд (Бага квадратууд).

Ерөнхий шугаман регрессийн загварын хувьд (санамсаргүй алдааны ковариацын матрицад хязгаарлалт тавьдаггүй) хамгийн үр дүнтэй (шугаман бус үнэлгээний ангилалд) тооцоолол гэж нэрлэгддэг нь батлагдсан (Айткенийн теорем). ерөнхийлсөн хамгийн бага квадратууд (GLS - Ерөнхий жижиг квадратууд)- Санамсаргүй алдааны урвуу ковариацын матрицтай тэнцүү жингийн матрицтай LS арга: .

Шугаман загварын параметрүүдийн GLS үнэлгээний томъёо нь хэлбэртэй байгааг харуулж болно

Эдгээр тооцооллын ковариацын матриц нь зохих ёсоор тэнцүү байна

Үнэн хэрэгтээ OLS-ийн мөн чанар нь анхны өгөгдлийн тодорхой (шугаман) хувиргалт (P) болон хувирсан өгөгдөлд ердийн OLS-ийг хэрэглэхэд оршдог. Энэхүү хувиргалтын зорилго нь хувиргасан өгөгдлийн хувьд санамсаргүй алдаа нь сонгодог таамаглалыг аль хэдийн хангасан байх явдал юм.

Жинлэсэн OLS

Диагональ жингийн матрицын хувьд (тиймээс санамсаргүй алдааны ковариацын матриц) бид хамгийн бага жигнэсэн квадратууд (WLS) гэж нэрлэгддэг. Энэ тохиолдолд загварын үлдэгдлийн квадратуудын жигнэсэн нийлбэрийг багасгасан, өөрөөр хэлбэл ажиглалт бүр нь энэхүү ажиглалтын санамсаргүй алдааны дисперстэй урвуу хамааралтай "жин"-ийг хүлээн авдаг: . Үнэн хэрэгтээ, өгөгдлийг ажиглалтыг жинлэх замаар (санамсаргүй алдааны тооцоолсон стандарт хазайлттай пропорциональ хэмжээгээр хуваах) хувиргадаг бөгөөд жигнэсэн өгөгдөлд энгийн OLS-ийг ашигладаг.

MNC-ийг практикт ашиглах зарим онцгой тохиолдлууд

Шугаман хамаарлыг ойртуулах

Тодорхой скаляр хэмжигдэхүүн нь тодорхой скаляр хэмжигдэхүүнээс хамаарлыг судалсны үр дүнд (энэ нь жишээлбэл, хүчдэлийн одоогийн хүчнээс хамаарах хамаарал байж болно: , тогтмол утга хаана байна, эсэргүүцэл дамжуулагч), эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн хэмжилт хийгдсэн бөгөөд үүний үр дүнд утгууд ба тэдгээрийн холбогдох утгууд. Хэмжилтийн өгөгдлийг хүснэгтэд тэмдэглэсэн байх ёстой.

Хүснэгт. Хэмжилтийн үр дүн.

Хэмжилтийн дугаар.
1
2
3
4
5
6

Асуулт нь: хамаарлыг хамгийн сайн тодорхойлохын тулд коэффициентийн ямар утгыг сонгож болох вэ? Хамгийн бага квадратын аргын дагуу энэ утга нь утгуудын утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр байх ёстой.

хамгийн бага байсан

Квадрат хазайлтын нийлбэр нь нэг экстремумтай байдаг - хамгийн бага нь энэ томъёог ашиглах боломжийг бидэнд олгодог. Энэ томъёоноос коэффициентийн утгыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид түүний зүүн талыг дараах байдлаар хувиргана.

Сүүлийн томъёо нь асуудалд шаардлагатай байсан коэффициентийн утгыг олох боломжийг бидэнд олгодог.

Өгүүллэг

19-р зууны эхэн үе хүртэл. эрдэмтэд үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос бага байдаг тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тодорхой дүрэмгүй байсан; Тэр үеийг хүртэл тэгшитгэлийн төрөл, тооны машинуудын мэргэн ухаанаас хамаардаг хувийн техникийг ашигладаг байсан тул ижил ажиглалтын өгөгдөл дээр үндэслэн өөр өөр тооцоолуур өөр өөр дүгнэлтэд хүрчээ. Энэ аргыг анх удаа Гаусс (1795) ашигласан бөгөөд Лежендре (1805) бие даан нээж, орчин үеийн нэрээр (Франц. Méthode des moindres quarrés ) . Лаплас энэ аргыг магадлалын онолтой холбосон бөгөөд Америкийн математикч Адрейн (1808) магадлалын онолын хэрэглээг авч үзсэн. Энэ арга нь Энке, Бессел, Хансен болон бусад хүмүүсийн цаашдын судалгаагаар өргөн тархсан бөгөөд сайжруулсан.

OLS-ийн өөр хэрэглээ

Хамгийн бага квадратын аргын санааг регрессийн шинжилгээтэй шууд холбоогүй бусад тохиолдолд ашиглаж болно. Баримт нь квадратуудын нийлбэр нь векторуудын хамгийн түгээмэл ойрын хэмжүүрүүдийн нэг юм (хязгаарлагдмал хэмжээст орон зай дахь Евклидийн хэмжүүр).

Нэг хэрэглээ бол тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос их байх шугаман тэгшитгэлийн системийн "шийдвэр" юм.

Энд матриц нь дөрвөлжин биш, тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Ийм тэгшитгэлийн систем нь ерөнхий тохиолдолд ямар ч шийдэлгүй (хэрэв зэрэглэл нь хувьсагчийн тооноос их байвал). Иймд энэ системийг зөвхөн векторуудын хоорондох "зай"-ыг багасгахын тулд ийм вектор сонгох утгаар л "шийдвэрлэх" боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд та системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талуудын ялгааны квадратуудын нийлбэрийг багасгах шалгуурыг ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл. Энэхүү багасгах асуудлыг шийдэх нь дараах тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг гэдгийг харуулахад хялбар байдаг

100 рубльЭхний захиалгын урамшуулал

Ажлын төрлийг сонгох Дипломын ажил Курсын ажил Хураангуй Магистрын ажил Практик тайлан Өгүүлэл Тайлан тойм Тестийн ажил Монограф Асуудал шийдвэрлэх Бизнес төлөвлөгөө Асуултуудын хариулт Бүтээлч ажил Эссе Зурах Эссе Орчуулга Илтгэл Шивэх Бусад Текстийн өвөрмөц байдлыг нэмэгдүүлэх Магистрын ажил Лабораторийн ажил Онлайн тусламж

Үнэтэй танилцаарай

Хамгийн бага квадратын арга нь цаг хугацааны цувааг зэрэгцүүлэх, санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлын хэлбэрийг тодорхойлох гэх мэт математик (математик-статистик) арга юм. Энэ нь энэ үзэгдлийг дүрсэлсэн функцийг илүү энгийн функцээр ойртуулах явдал юм. Түүгээр ч зогсохгүй, сүүлийнх нь ажиглагдсан цэгүүд дэх функцын бодит түвшний стандарт хазайлт (Тархалалтыг үзнэ үү) зэрэгцсэн цэгүүдээс хамгийн бага байхаар сонгосон.

Жишээлбэл, байгаа мэдээллээр ( xi,yi) (би = 1, 2, ..., n) ийм муруйг байгуулна y = а + bx, энэ үед квадрат хазайлтын хамгийн бага нийлбэрт хүрнэ

өөрөөр хэлбэл, хоёр параметрээс хамаарах функцийг багасгасан: а- ордны тэнхлэг дээрх сегмент ба б- шулуун шугамын налуу.

Функцийг багасгахад шаардлагатай нөхцлийг бүрдүүлж буй тэгшитгэлүүд С(а,б), гэж нэрлэдэг хэвийн тэгшитгэл.Ойролцоох функцүүдийн хувьд зөвхөн шугаман (шулуун шугамын дагуу тэгшлэх) төдийгүй квадрат, параболик, экспоненциал гэх мэтийг ашигладаг. Цаг хугацааны цувааг шулуун шугамын дагуу зэрэгцүүлэх жишээг Зураг . М.2, энд квадрат зайны нийлбэр ( y 1 – ȳ 1)2 + (y 2 – ȳ 2)2 .... нь хамгийн бага бөгөөд үр дүнд бий болсон шулуун шугам нь тодорхой үзүүлэлтийн динамик цуврал ажиглалтын чиг хандлагыг цаг хугацааны явцад хамгийн сайн тусгадаг.

Шударга бус OLS тооцооллын хувьд регрессийн шинжилгээний хамгийн чухал нөхцлийг биелүүлэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай: хүчин зүйлээс шалтгаалсан санамсаргүй алдааны математик хүлээлт тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл, тухайлбал: 1. санамсаргүй алдааны математик хүлээлт тэг, 2. хүчин зүйл болон санамсаргүй алдаа нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байвал биелнэ. Тогтмол нь 0-ээс өөр математикийн алдааны хүлээлтийг авдаг тул эхний нөхцөл нь тогтмол утгатай загваруудын хувьд үргэлж биелсэн гэж үзэж болно. Хоёрдахь нөхцөл - хүчин зүйлийн экзоген байдлын нөхцөл нь суурь юм. Хэрэв энэ өмчийг хангаагүй бол бараг бүх тооцоо нь туйлын хангалтгүй байх болно гэж бид таамаглаж болно: тэдгээр нь бүр тогтвортой биш байх болно (өөрөөр хэлбэл маш их хэмжээний мэдээлэл ч гэсэн энэ тохиолдолд өндөр чанарын тооцоог авах боломжийг бидэнд олгодоггүй. ).

Регрессийн тэгшитгэлийн параметрийн статистик үнэлгээний хамгийн түгээмэл арга бол хамгийн бага квадратын арга юм. Энэ арга нь өгөгдлийн мөн чанар болон загварын үр дүнгийн талаархи хэд хэдэн таамаглал дээр суурилдаг. Гол нь анхны хувьсагчдыг хамааралтай ба бие даасан гэж тодорхой хуваах, тэгшитгэлд багтсан хүчин зүйлсийн хамааралгүй байдал, харилцааны шугаман байдал, үлдэгдлийн автокорреляци байхгүй байх, тэдгээрийн математик хүлээлтийг тэг ба тогтмол болгон тэнцүүлэх явдал юм. тархалт.

OLS-ийн гол таамаглалуудын нэг нь ei хазайлтын дисперсийн тэгш байдлын таамаглал юм, i.e. цувралын дундаж (тэг) утгын эргэн тойронд тэдгээрийн тархалт нь тогтвортой утгатай байх ёстой. Энэ шинж чанарыг ижил хүйстэн гэж нэрлэдэг. Практикт хазайлтын хэлбэлзэл нь ихэвчлэн тэгш бус байдаг, өөрөөр хэлбэл гетероскедастик ажиглагддаг. Энэ нь янз бүрийн шалтгааны улмаас байж болно. Жишээлбэл, эх сурвалжийн өгөгдөлд алдаа байж болно. Тоонуудын дарааллын алдаа гэх мэт эх сурвалжийн мэдээлэлд үе үе алдаа гаргах нь үр дүнд ихээхэн нөлөөлнө. Ихэнхдээ хамааралтай хувьсагчийн (хувьсагчийн) том утгуудын үед єi хазайлтын илүү их тархалт ажиглагддаг. Хэрэв өгөгдөл нь мэдэгдэхүйц алдаатай байвал алдаатай өгөгдлөөс тооцоолсон загварын утгын хазайлт нь мэдээжийн хэрэг их байх болно. Энэ алдаанаас ангижрахын тулд бид тооцооллын үр дүнд энэ өгөгдлийн оруулсан хувь нэмрийг бууруулж, бусад бүх мэдээллээс бага жинтэй болгох хэрэгтэй. Энэ санааг жигнэсэн OLS-д хэрэгжүүлдэг.